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L'irrationalité de e
Démontre pas à pas que le nombre e n'est le quotient d'aucune paire d'entiers, en s'appuyant sur son développement en série et sur la preuve par l'absurde de Fourier.
Le théorème de d'Alembert-Gauss
Pourquoi tout polynôme complexe non constant a une racine : factorisation, racines conjuguées, et la démonstration par le minimum du module.
L'argument diagonal de Cantor
Dénombrer l'infini : pourquoi les rationnels se numérotent mais pas les réels, et comment la diagonale de Cantor irrigue aussi bien la logique que l'informatique théorique.
Assignment: the Josephus problem
Forty-one rebels in a circle, eliminated three by three: where should you stand to survive? A take-home assignment leading from a Python simulation to an exact formula readable off the binary expansion.
Calculus assignment: the function ln(1 + x)/x and its associated sequence
A complete take-home assignment: bound ln(1 + x) by integration, study the function f(x) = ln(1 + x)/x, then deduce the convergence speed of the sequence u(n+1) = ln(1 + u(n)).
L'intégration numérique
Quand aucune primitive n'existe, on approche l'intégrale par le calcul. Des rectangles aux trapèzes puis à la méthode de Simpson : de plus en plus précis, avec le même nombre de points.
La valeur moyenne d'une fonction
Comment faire la moyenne d'une infinité de valeurs ? L'intégrale répond : la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle, son sens géométrique et le théorème de la moyenne.
L'aire entre deux courbes
L'application phare de l'intégrale : mesurer l'aire d'une région du plan. De l'aire algébrique sous une courbe à l'aire entre deux courbes, sans se tromper de signe.
L'intégration par changement de variable
La technique reine pour intégrer les fonctions composées : reconnaître une dérivée cachée et « renommer » la variable. La réciproque de la dérivation en chaîne.
Les sommes de Riemann
D'où vient l'intégrale ? De l'idée toute simple d'approcher une aire par des rectangles, de plus en plus fins. La définition qui relie les sommes discrètes au calcul intégral.
The ideal gas law
A single equation, PV = nRT, links the pressure, volume, temperature and amount of a gas. Where it comes from, what it hides at the scale of molecules, and its limits.
Electromagnetic induction
How a moving magnet gives birth to a current, without a battery. Faraday's law and Lenz's law — and how they produce nearly all of our electricity.
Coulomb's law
The force that governs attraction and repulsion between electric charges: a 1/r² law, twin sister of gravitation, but billions of billions of times more intense.
Les transferts thermiques
Comment la chaleur se déplace : par contact (conduction), par mouvement d'un fluide (convection) ou à travers le vide (rayonnement). Les lois qui régissent l'isolation et le bilan thermique.
L'effet Doppler
Pourquoi la sirène d'une ambulance change de son quand elle passe, et comment le même effet, appliqué à la lumière des galaxies, a révélé l'expansion de l'Univers.
La radioactivité et la désintégration nucléaire
Pourquoi certains noyaux se transforment spontanément en émettant des rayonnements, comment écrire ces désintégrations, et la loi de décroissance qui gouverne la demi-vie et la datation.
L'effet photoélectrique
Pourquoi une lumière peut arracher des électrons à un métal — mais seulement au-dessus d'une certaine fréquence. L'expérience qui a imposé l'idée de photon et valu son prix Nobel à Einstein.
Bézout, Gauss and Diophantine equations
From Euclid's algorithm to integer solutions: fast GCD computation, Bézout's identity and theorem, Gauss's theorem and Euclid's lemma, and the complete solution of equations ax + by = c.
Prime numbers
The elementary bricks of the integers: the sieve of Eratosthenes and testing up to the square root, the fundamental theorem of arithmetic, Euclid's proof of infinitude, thinning out, and modern primality tests.
Descriptive statistics
Summarising a data series without betraying it: mean, median and mode, quartiles and box plots, range, interquartile range and standard deviation, and the reading traps — truncated axes, misleading means, Simpson's paradox.
The normal distribution
The bell curve and why it is everywhere: probability density, the parameters μ and σ, the 68-95-99.7 rule, the standardised variable, the central limit theorem, and the situations where the model fails.
The binomial distribution
Repeating a two-outcome trial and counting successes: the Bernoulli scheme, the formula P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^(n-k), expectation np and variance np(1-p), and the threshold argument underlying statistical tests.
Random variables, expectation and variance
Attaching a number to each outcome: the distribution of a random variable, expectation as a long-run average, variance and standard deviation as measures of risk, and their uses in insurance, finance and quality control.
Counting and combinatorics
Counting without enumerating: the multiplication principle, permutations, arrangements and combinations, Pascal's triangle and the binomial theorem, and the classic configurations — anagrams, grid paths, simultaneous draws.