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Quarante et un rebelles en cercle, éliminés de trois en trois : où se placer pour survivre ? Un devoir maison qui mène de la simulation en Python à une formule exacte lisible sur l'écriture binaire.

Un devoir maison complet : encadrer ln(1 + x) par intégration, étudier la fonction f(x) = ln(1 + x)/x, puis en déduire la vitesse de convergence de la suite u(n+1) = ln(1 + u(n)).

Quand aucune primitive n'existe, on approche l'intégrale par le calcul. Des rectangles aux trapèzes puis à la méthode de Simpson : de plus en plus précis, avec le même nombre de points.

Comment faire la moyenne d'une infinité de valeurs ? L'intégrale répond : la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle, son sens géométrique et le théorème de la moyenne.

L'application phare de l'intégrale : mesurer l'aire d'une région du plan. De l'aire algébrique sous une courbe à l'aire entre deux courbes, sans se tromper de signe.

La technique reine pour intégrer les fonctions composées : reconnaître une dérivée cachée et « renommer » la variable. La réciproque de la dérivation en chaîne.

D'où vient l'intégrale ? De l'idée toute simple d'approcher une aire par des rectangles, de plus en plus fins. La définition qui relie les sommes discrètes au calcul intégral.

Une seule équation, PV = nRT, relie pression, volume, température et quantité de matière d'un gaz. D'où elle vient, ce qu'elle cache à l'échelle des molécules, et ses limites.

Comment un aimant en mouvement fait naître un courant, sans pile. La loi de Faraday et la loi de Lenz — et comment elles produisent la quasi-totalité de notre électricité.

La force qui régit l'attraction et la répulsion entre charges électriques : une loi en 1/r², sœur jumelle de la gravitation, mais des milliards de milliards de fois plus intense.

Comment la chaleur se déplace : par contact (conduction), par mouvement d'un fluide (convection) ou à travers le vide (rayonnement). Les lois qui régissent l'isolation et le bilan thermique.

Pourquoi la sirène d'une ambulance change de son quand elle passe, et comment le même effet, appliqué à la lumière des galaxies, a révélé l'expansion de l'Univers.

Pourquoi certains noyaux se transforment spontanément en émettant des rayonnements, comment écrire ces désintégrations, et la loi de décroissance qui gouverne la demi-vie et la datation.

Pourquoi une lumière peut arracher des électrons à un métal — mais seulement au-dessus d'une certaine fréquence. L'expérience qui a imposé l'idée de photon et valu son prix Nobel à Einstein.

De l'algorithme d'Euclide aux solutions entières : calcul rapide du PGCD, identité et théorème de Bézout, théorème de Gauss et lemme d'Euclide, et la résolution complète des équations ax + by = c.

Les briques élémentaires des entiers : crible d'Ératosthène et test jusqu'à la racine, théorème fondamental de l'arithmétique, preuve d'Euclide de l'infinité des premiers, raréfaction et tests de primalité modernes.

Résumer une série de données sans la trahir : moyenne, médiane et mode, quartiles et boîte à moustaches, étendue, écart interquartile et écart-type, et les pièges de lecture — axe tronqué, moyenne trompeuse, paradoxe de Simpson.

La courbe en cloche et pourquoi elle est partout : densité de probabilité, paramètres μ et σ, règle des 68-95-99,7, variable centrée réduite, théorème central limite et les situations où le modèle ne tient pas.

Répéter une épreuve à deux issues et compter les succès : schéma de Bernoulli, formule P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^(n-k), espérance np et variance np(1-p), et le raisonnement de seuil qui fonde les tests statistiques.

Attacher un nombre à chaque issue : loi de probabilité d'une variable aléatoire, espérance comme moyenne à long terme, variance et écart-type pour mesurer le risque, et leurs usages en assurance, en finance et en contrôle qualité.

Compter sans énumérer : principe multiplicatif, permutations, arrangements et combinaisons, le triangle de Pascal et le binôme de Newton, et les configurations classiques — anagrammes, chemins, tirages simultanés.

Modéliser une expérience aléatoire avant de calculer : univers et événements, loi de probabilité, formule de la réunion et événement contraire, loi des grands nombres, et pourquoi le protocole de tirage change le résultat.

Repérer un complexe par sa distance et son angle : la forme trigonométrique, la notation e^(iθ) qui change la multiplication en rotation, les formules de Moivre et d'Euler, et les racines n-ièmes qui dessinent des polygones réguliers.

Un nombre dont le carré vaut -1 : la forme algébrique a + ib, le calcul avec le conjugué et le module, la représentation dans le plan, et la résolution des équations du second degré à discriminant négatif.