La fonction auxiliaire g, et ce qu'elle apporte

Une fonction fabriquée pour être minuscule

Le sujet pose, sur [0 ; +∞[ :

   g(x) = ln(1 + x) − 2x/(2 + x)

La fraction 2x/(2 + x) n'est pas tombée du ciel : c'est la meilleure approximation de ln(1 + x) par un quotient de deux polynômes de degré 1. Dire que g est petite, c'est dire que cette fraction colle à ln(1 + x).

Le calcul de g'

g est dérivable sur [0 ; +∞[ : x ↦ ln(1 + x) l'est car 1 + x > 0, et x ↦ 2x/(2 + x) l'est comme quotient dont le dénominateur ne s'annule pas sur [0 ; +∞[.

   g'(x) = 1/(1 + x) − [2(2 + x) − 2x] / (2 + x)²
         = 1/(1 + x) − 4/(2 + x)²
         = [(2 + x)² − 4(1 + x)] / [(1 + x)(2 + x)²]
         = x² / [(1 + x)(2 + x)²]

Le numérateur x² est positif ; pour x ≥ 0, on a 1 + x ≥ 1 et (2 + x)² ≥ 4, donc le dénominateur vaut au moins 4 :

   0  ≤  g'(x)  ≤  x²/4

De g' à g

g(0) = ln(1) − 0 = 0. En intégrant l'encadrement de g' entre 0 et x :

   0  ≤  g(x)  ≤  x³/12

Autrement dit, pour tout x ≥ 0 :

   2x/(2 + x)  ≤  ln(1 + x)  ≤  2x/(2 + x) + x³/12

L'erreur est en x³, contre x² pour l'encadrement de la leçon précédente. Ce cran de précision supplémentaire est ce qui permettra d'obtenir des limites, et non plus seulement des bornes.

L'identité qui fait tout marcher

Un calcul à retenir, il resservira dans toute la partie II :

   1 / (2x/(2 + x)) − 1/x = (2 + x)/(2x) − 1/x = x/(2x) = 1/2

L'inverse de l'approximation de ln(1 + x) vaut donc exactement 1/x + 1/2. Toute la fin du problème consiste à contrôler l'écart entre 1/ln(1 + x) et cette valeur.