Encadrer ln(1 + x) par intégration

Tout le devoir repose sur un encadrement de ln(1 + x) obtenu en trois lignes. Encore faut-il savoir d'où il sort.

L'encadrement de départ

Pour tout réel t ≥ 0 :

   1 − t  ≤  1/(1 + t)  ≤  1

À droite : 1 + t ≥ 1 > 0, donc 1/(1 + t) ≤ 1.

À gauche, on passe par la différence. C'est la seule méthode fiable quand une inégalité mélange une fraction et un polynôme : multiplier en croix obligerait à discuter le signe du dénominateur.

   1/(1+t) − (1 − t) = [1 − (1 − t)(1 + t)] / (1 + t)
                     = [1 − (1 − t²)] / (1 + t)
                     = t² / (1 + t)

Ce quotient est positif dès que t ≥ 0 : l'inégalité de gauche est démontrée.

Intégrer conserve l'ordre

Si u ≤ v sur [0 ; x], alors l'intégrale de u sur [0 ; x] est inférieure à celle de v. C'est le seul outil nécessaire ici : les trois fonctions ci-dessus sont continues sur [0 ; x], et 1/(1 + t) a pour primitive ln(1 + t).

   ∫₀ˣ (1 − t) dt  =  x − x²/2
   ∫₀ˣ dt/(1 + t)  =  ln(1 + x)
   ∫₀ˣ 1 dt        =  x

D'où, pour tout x ≥ 0 :

   x − x²/2  ≤  ln(1 + x)  ≤  x

Ce qu'il donne, et ce qu'il ne donne pas

En retranchant à x puis en divisant par x² (x > 0) :

   0  ≤  (x − ln(1 + x)) / x²  ≤  1/2

La quantité est bien encadrée, mais les deux bornes sont fixes : elles ne se resserrent pas quand x tend vers 0. Impossible d'en tirer une limite. C'est exactement pour combler ce manque que le sujet introduit la fonction auxiliaire g, objet de la leçon suivante.