Le passage à l'inverse

Pourquoi inverser

u(n) tend vers 0 : les termes s'écrasent les uns sur les autres et les comparer devient pénible. En posant

   v(n) = 1 / u(n)

on transforme une suite qui s'écrase en une suite qui explose. Surtout, la relation de récurrence devient presque une progression arithmétique.

Le cœur du problème

   v(n+1) − v(n) = 1/ln(1 + u(n)) − 1/u(n)

Or on a vu dans la partie I que 1/ln(1 + x) − 1/x vaut 1/2 à un petit écart près, écart qui tend vers 0 avec x. Comme u(n) tend vers 0, la différence v(n+1) − v(n) tend vers 1/2 : les termes de v avancent d'un demi à chaque rang.

Du pas moyen à la limite

Une suite dont les écarts successifs tendent vers 1/2 se comporte comme n/2 — c'est le lemme de Cesàro. Le sujet évite de l'invoquer et fait mieux : il encadre l'écart à chaque rang,

   1/2 − (3/16)·u(n)  ≤  v(n+1) − v(n)  ≤  1/2

puis somme ces inégalités de 0 à n−1. La somme télescope :

   v(n) − v(0) = [v(1) − v(0)] + [v(2) − v(1)] + … + [v(n) − v(n−1)]

On encadre ainsi v(n), donc u(n), puis n·u(n). Chaque question de la partie II est une marche de cet escalier.