Une suite qui tend vers zéro

La convergence est la partie facile

Soit c > 0, u₀ = c et u(n+1) = ln(1 + u(n)) pour n ≥ 0.

Deux remarques suffisent :

• si u(n) > 0, alors 1 + u(n) > 1, donc u(n+1) = ln(1 + u(n)) > 0. Par récurrence la suite reste strictement positive, et l'itération est toujours définie ;
• l'inégalité ln(1 + x) ≤ x de la partie I, appliquée à x = u(n), donne u(n+1) ≤ u(n) : la suite est décroissante.

Décroissante et minorée par 0, elle converge vers un réel ℓ ≥ 0. La fonction x ↦ ln(1 + x) étant continue, la limite vérifie ℓ = ln(1 + ℓ). Or ln(1 + x) < x dès que x > 0, donc ℓ = 0.

La vraie question : à quelle vitesse ?

Savoir que u(n) tend vers 0 ne dit rien de la vitesse. Une suite peut tendre vers 0 comme 1/n, comme 1/√n ou comme 2⁻ⁿ, et ces trois comportements n'ont rien à voir.

Le sujet répond en étudiant le produit n·u(n). S'il converge vers une limite finie non nulle, alors u(n) se comporte exactement comme cette limite divisée par n : on connaît la vitesse, et pas seulement l'ordre de grandeur.