Le pendule simple et l'approximation des petites oscillations

Mise en équation

Un pendule simple est constitué d'une masse ponctuelle m au bout d'un fil inextensible de longueur L, oscillant dans un plan vertical sous l'effet de la pesanteur g. En repérant sa position par l'angle theta(t) par rapport à la verticale, le théorème du moment cinétique donne :

theta''(t) + (g/L).sin(theta(t)) = 0

Cette équation n'est pas linéaire à cause du terme sin(theta) : c'est la difficulté majeure du pendule pesant.

Approximation des petits angles

Pour theta petit (typiquement theta <= 10-15 degrés), on utilise le développement limité sin(theta) ~= theta. L'équation devient linéaire :

theta''(t) + (g/L).theta(t) = 0

On retrouve la forme canonique de l'oscillateur harmonique avec omega0 = sqrt(g/L), et T0 = 2.pi.sqrt(L/g). Remarquez que la période ne dépend ni de la masse ni de l'amplitude (isochronisme des petites oscillations).

Au-delà des petits angles

Pour de plus grandes amplitudes, la période réelle augmente légèrement avec l'amplitude (l'isochronisme n'est qu'approximatif). Le calcul exact fait intervenir des intégrales elliptiques, hors programme standard mais important à savoir qualitativement.

Piège classique

L'erreur la plus répandue est d'oublier que l'approximation sin(theta) ~= theta n'est valable qu'en radians et pour de petits angles. Utiliser cette approximation pour theta = 60 degrés donne un résultat totalement faux.