Mise en équation de l'oscillateur harmonique

Le système masse-ressort

Considérons une masse m fixée à un ressort de raideur k, glissant sans frottement sur un axe horizontal. On repère sa position par x(t), l'écart par rapport à la position d'équilibre.

La loi de Hooke et le PFD

Le ressort exerce une force de rappel F = -k.x (loi de Hooke : proportionnelle à l'écart, dirigée vers l'équilibre). En appliquant le principe fondamental de la dynamique (m.a = somme des forces) :

m.x''(t) + k.x(t) = 0

On pose omega0 = sqrt(k/m), la pulsation propre (en rad/s). L'équation devient :

x''(t) + omega0^2 . x(t) = 0

C'est l'équation différentielle canonique de l'oscillateur harmonique, que l'on retrouve dans des contextes très variés (circuit LC, pendule pour petites oscillations, molécule diatomique...).

Solution générale

La solution s'écrit :

x(t) = A.cos(omega0.t + phi)

où A (amplitude) et phi (phase à l'origine) sont fixés par les conditions initiales x(0) et x'(0). La période propre vaut T0 = 2.pi/omega0.

Tableau récapitulatif

Grandeur	Symbole	Expression
Pulsation propre	omega0	sqrt(k/m)
Période propre	T0	2.pi/omega0
Fréquence propre	f0	1/T0

Piège classique

Ne confondez pas omega0 (pulsation, rad/s) et f0 (fréquence, Hz) : omega0 = 2.pi.f0. Une erreur fréquente consiste à injecter directement f0 dans cos(f0.t) au lieu de omega0.t.