Énergie et portrait de phase de l'oscillateur

Énergie mécanique conservée

Pour l'oscillateur harmonique non amorti, l'énergie cinétique Ec = (1/2).m.v^2 et l'énergie potentielle élastique Ep = (1/2).k.x^2 échangent continuellement, mais leur somme Em = Ec + Ep reste constante :

Em = (1/2).k.A^2

Ce résultat se démontre en dérivant Em par rapport au temps et en utilisant l'équation du mouvement : dEm/dt = 0.

Interprétation physique

Quand x est maximal (x = A), la vitesse est nulle : toute l'énergie est potentielle. Quand x = 0 (passage à l'équilibre), la vitesse est maximale (v_max = A.omega0) : toute l'énergie est cinétique.

Le portrait de phase

En traçant v/omega0 en fonction de x, on obtient un cercle de rayon A (ellipse si on trace v en fonction de x). Ce portrait de phase est un outil puissant : chaque état du système est un point, et l'évolution temporelle trace une trajectoire fermée pour un oscillateur conservatif.

Position	Ec	Ep	v
x = A	0	max	0
x = 0	max	0	v_max
x = -A	0	max	0

Piège classique

Attention à l'homogénéité : Ep = (1/2).k.x^2 utilise l'écart à l'équilibre, pas la position absolue si l'équilibre n'est pas à l'origine du repère choisi. Vérifiez toujours où se situe x = 0 avant d'écrire l'énergie potentielle.