Variations et limite d'une suite geometrique

Sens de variation

Le comportement d'une suite geometrique (u_n) depend du signe de u_0 et de la valeur de la raison q :

Condition	Comportement
u_0 > 0 et q > 1	Suite croissante, tend vers +infini
u_0 > 0 et 0 < q < 1	Suite decroissante, tend vers 0
u_0 > 0 et q < 0	Suite alternee (change de signe a chaque terme)
q = 1	Suite constante

Exemple de convergence

Soit u_0 = 100 et q = 0,5. Les termes sont 100, 50, 25, 12,5, 6,25, ... La suite decroit et se rapproche de plus en plus de 0 sans jamais l'atteindre. On dit qu'elle converge vers 0.

Exemple de divergence

Soit u_0 = 1 et q = 2. Les termes sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... La suite croit indefiniment : elle diverge vers +infini.

Regle a retenir sur la limite

Si -1 < q < 1 (donc |q| < 1), alors q^n tend vers 0 quand n devient grand, et la suite geometrique converge vers 0 (en supposant u_0 different de 0).

Si q > 1, q^n tend vers +infini : la suite diverge.

Si q <= -1 ou q = 1 avec u_0 non nul, le comportement est soit constant, soit oscillant sans limite.

Piege classique

Une raison negative comme q = -2 ne signifie pas que la suite decroit : elle alterne entre valeurs positives et negatives, avec des valeurs absolues qui augmentent. Ne confonds pas "raison negative" avec "suite decroissante".