Somme des termes d'une suite geometrique

La formule de la somme

Pour calculer la somme des premiers termes d'une suite geometrique (u_0, u_1, ..., u_n) de raison q different de 1, on utilise :

S = u_0 + u_1 + ... + u_n = u_0 * (1 - q^(n+1)) / (1 - q)

Si q = 1, tous les termes sont egaux et la somme vaut simplement S = (n+1) * u_0.

Exemple

Calculons la somme des 5 premiers termes (n = 4) de la suite u_0 = 1, q = 2 :

S = 1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = (1 - 32) / (-1) = (-31)/(-1) = 31

On peut verifier en additionnant directement : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Cela confirme le resultat.

Formule generale a retenir

S = premier terme * (1 - q^(nombre de termes)) / (1 - q)

Le piege le plus frequent est de se tromper sur le nombre de termes utilise dans l'exposant : il correspond au NOMBRE de termes additionnes, pas au dernier indice n.

Application concrete

Un capital de 1000 euros place produit chaque annee un interet qui s'ajoute au capital, multipliant celui-ci par 1,05 (soit +5%) chaque annee. Le capital forme une suite geometrique de raison q = 1,05, et la somme permet par exemple de calculer le total cumule verse sur plusieurs annees dans un plan d'epargne.

Piege classique

Cette formule ne s'applique QUE si q est different de 1. Si q = 1, la formule generale donnerait une division par zero : il faut alors utiliser S = (nombre de termes) * u_0.