Le produit scalaire

Definition

Le produit scalaire de deux vecteurs ->u et ->v, note ->u . ->v, est un nombre reel (un scalaire, et non un vecteur). Il se calcule de plusieurs facons.

Avec les coordonnees

Si ->u(x ; y) et ->v(x' ; y'), alors :

->u . ->v = xx' + yy'

Exemple : ->u(2 ; 3) et ->v(4 ; -1) donnent ->u.->v = 24 + 3(-1) = 8 - 3 = 5.

Avec la norme et l'angle

->u . ->v = ||u|| * ||v|| * cos(angle(u,v))

Cette formule est utile en trigonometrie, notamment pour calculer des angles dans un triangle.

Vecteurs orthogonaux

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul :

->u . ->v = 0 <=> ->u perpendiculaire a ->v

C'est le moyen le plus rapide de demontrer que deux droites sont perpendiculaires.

Proprietes utiles

• ->u . ->v = ->v . ->u (symetrie)
• ->u . ->u = ||u||^2 (carre scalaire)
• ->u . (->v + ->w) = ->u.->v + ->u.->w (distributivite)

Piege classique

Le produit scalaire donne un NOMBRE, jamais un vecteur : ne pas ecrire "->u.->v = ->w". De plus, ->u.->v = 0 n'implique pas que ->u ou ->v soit le vecteur nul : cela signifie seulement qu'ils sont perpendiculaires.