Limites de ln et croissances comparees

Limites aux bornes du domaine

La fonction ln admet deux limites fondamentales a connaitre par coeur :

limite de ln(x) quand x tend vers 0 (x > 0) = -infini

limite de ln(x) quand x tend vers +infini = +infini

La premiere limite traduit l'existence d'une asymptote verticale d'equation x = 0 pour la courbe de ln.

Croissance tres lente

Bien que ln(x) tende vers +infini, elle le fait extremement lentement, beaucoup plus lentement que x lui-meme. C'est ce qu'on appelle une croissance comparee :

limite de ln(x)/x quand x tend vers +infini = 0

limite de x x ln(x) quand x tend vers 0 (x > 0) = 0

Ces deux resultats permettent de lever des formes indeterminees du type infini/infini ou 0 x infini dans les calculs de limites.

Resoudre une equation avec ln

Pour resoudre ln(x) = k (k reel donne), on utilise la definition : x = e^k, et cette solution est bien strictement positive donc toujours valable.

Exemple : resoudre ln(2x - 1) = 0. La condition d'existence impose 2x - 1 > 0, soit x > 1/2. On resout ensuite 2x - 1 = e^0 = 1, donc x = 1, qui verifie bien la condition. La solution est x = 1.

Resoudre une inequation avec ln

Exemple : resoudre ln(x) <= 2, pour x > 0. Comme ln est strictement croissante, cela equivaut a x <= e^2. En tenant compte du domaine, l'ensemble des solutions est ]0 ; e^2].

Piege classique

Toujours poser la condition d'existence (l'argument du ln doit etre strictement positif) AVANT de resoudre, et verifier a la fin que les solutions trouvees respectent bien cette condition. Une solution qui ne la respecte pas doit etre rejetee.