Proprietes algebriques du logarithme

L'idee cle : transformer un produit en somme

La propriete fondamentale du logarithme neperien est de changer une multiplication en addition. Pour tous reels a > 0 et b > 0 :

ln(a x b) = ln(a) + ln(b)

Cette relation, appelee relation fonctionnelle, est a l'origine historique de l'invention des logarithmes : elle a permis de remplacer des multiplications fastidieuses par de simples additions.

Consequences pratiques

A partir de cette regle de base, on obtient d'autres formules tres utiles, toujours sous condition que les arguments des ln soient strictement positifs :

ln(1/a) = -ln(a)

ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

ln(a^n) = n x ln(a) pour n entier relatif

ln(sqrt(a)) = (1/2) x ln(a)

Exemple concret

Simplifions ln(8) + ln(1/2) en utilisant ces regles :

ln(8) + ln(1/2) = ln(8 x 1/2) = ln(4) = ln(2^2) = 2 x ln(2)

Autre exemple : resoudre ln(x) + ln(3) = ln(12) revient a ecrire ln(3x) = ln(12), donc 3x = 12 (a condition que x > 0), soit x = 4.

Le piege classique

On ne doit JAMAIS ecrire ln(a + b) = ln(a) + ln(b) : le logarithme transforme les produits en sommes, pas les sommes en produits. De meme, ln(a) x ln(b) n'est pas egal a ln(a x b). Il faut aussi toujours verifier le domaine de validite : avant d'ecrire ln(a/b) = ln(a) - ln(b), il faut s'assurer que a > 0 et b > 0, sinon l'egalite n'a pas de sens.

Tableau recapitulatif

Expression	Simplification
ln(a x b)	ln(a) + ln(b)
ln(a/b)	ln(a) - ln(b)
ln(a^n)	n x ln(a)
ln(1)	0