Construction et definition de la fonction ln

Pourquoi une nouvelle fonction ?

On sait resoudre e^x = k pour k > 0 grace a la fonction exponentielle, mais on ne sait pas encore exprimer x en fonction de k directement. La fonction logarithme neperien, notee ln, repond a ce besoin : elle est definie comme la fonction reciproque de l'exponentielle.

Definition

Pour tout reel x strictement positif, ln(x) est l'unique reel t tel que e^t = x.

Autrement dit, pour x > 0 et pour tout reel y :

ln(x) = y <=> e^y = x

On en deduit deux relations fondamentales, valables respectivement pour tout x > 0 et pour tout reel x :

e^(ln(x)) = x et ln(e^x) = x

Domaine de definition

ln(x) n'existe que pour x > 0. Ecrire ln(-2) ou ln(0) n'a aucun sens : c'est le piege le plus frequent chez les eleves. Avant de manipuler un ln, il faut toujours verifier que son argument est strictement positif.

Valeurs particulieres

x	ln(x)
1	0
e	1
1/e	-1
e^2	2

On retient en particulier que ln(1) = 0 (car e^0 = 1) et ln(e) = 1 (car e^1 = e). Ces deux valeurs servent de reperes dans presque tous les exercices.

Courbe representative

La courbe de ln est symetrique de celle de l'exponentielle par rapport a la droite d'equation y = x, puisque ce sont des fonctions reciproques l'une de l'autre. Elle passe par le point (1, 0), s'approche de l'axe des ordonnees quand x tend vers 0 (asymptote verticale) et croit indefiniment, mais tres lentement, quand x tend vers plus l'infini.