Derivee et sens de variation de ln

La derivee du logarithme neperien

La fonction ln est derivable sur l'intervalle ]0 ; +infini[ et sa derivee est donnee par :

ln'(x) = 1/x

Cette formule est essentielle : elle permet de deriver toute expression contenant un ln et, inversement, de reconnaitre une primitive en 1/x.

Sens de variation

Pour tout x > 0, on a 1/x > 0. La derivee de ln est donc strictement positive sur tout son domaine de definition : la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +infini[.

Cela signifie que pour tous reels a > 0 et b > 0 :

a < b <=> ln(a) < ln(b)

a = b <=> ln(a) = ln(b)

Cette equivalence est tres utilisee pour resoudre des inequations : on peut appliquer ln aux deux membres d'une inegalite entre reels strictement positifs sans changer le sens de l'inegalite.

Derivee d'une fonction composee

Si u est une fonction derivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction f definie par f(x) = ln(u(x)) est derivable sur I et :

f'(x) = u'(x) / u(x)

Exemple

Soit f(x) = ln(x^2 + 1). Ici u(x) = x^2 + 1 est toujours strictement positif, et u'(x) = 2x. Donc :

f'(x) = 2x / (x^2 + 1)

Le signe de f'(x) est celui de 2x (car x^2 + 1 > 0 toujours) : f est donc decroissante sur ]-infini ; 0] et croissante sur [0 ; +infini[.

Piege a eviter

Ne pas confondre ln'(x) = 1/x avec la derivee de ln(u(x)) qui vaut u'(x)/u(x). Oublier de multiplier par u'(x) est l'erreur la plus courante lors de la derivation d'une composee avec ln.