Portée de la méthode et questions ouvertes

La même mécanique ailleurs

L'argument de Fourier est un modèle du genre : produire une quantité qui doit être un entier tout en étant strictement comprise entre $0$ et $1$. On le retrouve dans plusieurs preuves célèbres.

Résultat	Auteur, date	Outil principal
$e$ irrationnel	Euler, 1737	fraction continue
$e$ irrationnel	Fourier, vers 1815	série et factorielle
$\pi$ irrationnel	Lambert, 1761	fraction continue de $\tan$
$e$ transcendant	Hermite, 1873	approximants de Padé
$\pi$ transcendant	Lindemann, 1882	extension du travail de Hermite
$\pi$ irrationnel, preuve courte	Niven, 1947	intégrale d'un polynôme bien choisi

Le cas de $e^2$ et des puissances de $e$

L'argument précédent ne se transpose pas tel quel à $e^2$ : la série $\sum \dfrac{2^k}{k!}$ ne se laisse pas nettoyer aussi simplement, car le facteur $2^k$ gonfle le reste. Liouville a contourné l'obstacle en 1840 : si l'on suppose $e^2 = \dfrac{p}{q}$, on écrit

$$q\,e = p\,e^{-1}$$

puis on développe les deux membres en série, en exploitant l'alternance des signes de $e^{-1} = \sum \dfrac{(-1)^k}{k!}$. La même contradiction apparaît.

Plus généralement, un théorème de Lambert affirme que $e^r$ est irrationnel pour tout rationnel $r \neq 0$, et le théorème de Hermite-Lindemann donne mieux encore : $e^\alpha$ est transcendant pour tout nombre algébrique $\alpha \neq 0$.

La fraction continue d'Euler

L'approche historique d'Euler s'appuie sur le développement

$$e = [\,2 \,;\, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, \ldots\,]$$

où le motif $1, 2m, 1$ se répète indéfiniment. Le critère est net : un réel est rationnel si et seulement si son développement en fraction continue est fini. Ce développement étant infini et parfaitement régulier, $e$ est irrationnel. Cette voie donne en prime d'excellentes approximations rationnelles de $e$, comme $\dfrac{2721}{1001}$.

Ce que l'on ne sait toujours pas

La frontière du connu est étonnamment proche. On ignore encore si $e + \pi$ est irrationnel, et de même pour $e \cdot \pi$ ou $e^e$. On sait seulement qu'ils ne peuvent pas être tous deux algébriques : si $e + \pi$ et $e\,\pi$ étaient algébriques, alors $e$ et $\pi$, racines du polynôme

$$X^2 - (e + \pi)\,X + e\,\pi$$

seraient algébriques eux aussi, ce que Hermite et Lindemann interdisent. Au moins l'un des deux est donc transcendant — mais personne ne sait lequel.

Piège classique

Croire qu'une somme ou un produit de deux irrationnels est irrationnel. C'est faux : $\sqrt{2} + \left(1 - \sqrt{2}\right) = 1$ et $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$. C'est exactement pour cette raison que le statut de $e + \pi$ reste ouvert, alors même que $e$ et $\pi$ sont tous deux transcendants.