La série de e et la majoration du reste

La série exponentielle

Le point de départ de la démonstration est le développement en série de $e$, obtenu en évaluant la série exponentielle en $1$ :

$$e = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \cdots$$

La convergence est très rapide. Notons les sommes partielles et le reste :

$$S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \qquad \text{et} \qquad R_n = e - S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k!}$$

$n$	$S_n$	$e - S_n$
$2$	$\dfrac{5}{2} = 2{,}5$	$\approx 2{,}18 \times 10^{-1}$
$4$	$\dfrac{65}{24} \approx 2{,}70833$	$\approx 9{,}95 \times 10^{-3}$
$6$	$\dfrac{1957}{720} \approx 2{,}71806$	$\approx 2{,}26 \times 10^{-4}$
$10$	$\approx 2{,}7182818$	$\approx 2{,}73 \times 10^{-8}$

La majoration décisive du reste

Toute la démonstration repose sur l'encadrement suivant, valable pour $n \geq 1$ :

$$0 < R_n < \frac{1}{n \cdot n!}$$

Minoration. Tous les termes de $R_n$ sont strictement positifs, donc $R_n > 0$.

Majoration. Factorisons par le premier terme :

$$R_n = \frac{1}{(n+1)!}\left(1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \cdots\right)$$

Chaque facteur $\dfrac{1}{n+j}$ est majoré strictement par $\dfrac{1}{n+1}$ dès que $j \geq 2$, donc la parenthèse est majorée par la série géométrique de raison $\dfrac{1}{n+1}$ :

$$R_n < \frac{1}{(n+1)!} \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)^j} = \frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{n+1}{n} = \frac{1}{n \cdot n!}$$

Pourquoi cette majoration est la bonne

Multiplions l'encadrement par $n!$ :

$$0 < n!\,R_n < \frac{1}{n}$$

La quantité $n!\,R_n$ est donc coincée strictement entre $0$ et $\dfrac{1}{n}$, c'est-à-dire strictement entre $0$ et $1$ dès que $n \geq 2$. Il suffira de démontrer que ce nombre est un entier pour obtenir l'absurdité : c'est exactement le programme du chapitre suivant.

Piège classique

Confondre $\dfrac{1}{n \cdot n!}$ et $\dfrac{1}{(n+1)!}$, ou se contenter de la majoration grossière $R_n < \dfrac{1}{(n+1)!} \cdot (n+1) = \dfrac{1}{n!}$. Cette dernière donne seulement $n!\,R_n < 1$ sans strict contrôle utile pour $n$ petit ; la version en $\dfrac{1}{n \cdot n!}$ est celle qui rend la contradiction immédiate.