La preuve par l'absurde de Fourier

L'énoncé

Théorème. Le nombre $e$ est irrationnel.

La démonstration élémentaire ci-dessous est attribuée à Fourier, qui l'exposait dans ses cours vers 1815 ; Euler avait déjà obtenu le résultat en 1737 par un tout autre chemin, le développement de $e$ en fraction continue.

La démonstration de Fourier

Hypothèse absurde. Supposons $e$ rationnel, et écrivons $e = \dfrac{p}{q}$ avec $p \in \mathbb{N}^*$ et $q \in \mathbb{N}^*$.

Une remarque préalable sur $q$. Comme $2 < e < 3$, le nombre $e$ n'est pas entier, donc $q \geq 2$.

La quantité clé. Posons

$$N = q!\,\left(e - S_q\right) = q!\,R_q \qquad \text{où} \qquad S_q = \sum_{k=0}^{q} \frac{1}{k!}$$

Étape 1 : $N$ est un entier. Écrivons $N = q!\,e - q!\,S_q$ et traitons les deux morceaux.

D'une part, l'hypothèse absurde donne

$$q!\,e = q!\,\frac{p}{q} = p \cdot (q-1)! \in \mathbb{Z}$$

D'autre part, pour tout $k \leq q$, le quotient $\dfrac{q!}{k!} = (k+1)(k+2)\cdots q$ est un entier, donc

$$q!\,S_q = \sum_{k=0}^{q} \frac{q!}{k!} \in \mathbb{Z}$$

La différence de deux entiers étant un entier, $N \in \mathbb{Z}$.

Étape 2 : $N$ est strictement compris entre $0$ et $1$. C'est l'encadrement du reste établi au chapitre précédent, multiplié par $q!$ :

$$0 < N = q!\,R_q < q! \cdot \frac{1}{q \cdot q!} = \frac{1}{q} \leq \frac{1}{2} < 1$$

Conclusion. On a construit un entier $N$ vérifiant $0 < N < 1$. Or il n'existe aucun entier strictement compris entre $0$ et $1$ : contradiction. L'hypothèse de départ est donc fausse, et $e$ est irrationnel.

Pourquoi la factorielle et pas autre chose

Le ressort de la preuve est que $q!$ « nettoie » d'un coup tous les dénominateurs de la somme partielle $S_q$, tout en laissant le reste $R_q$ minuscule. C'est la conjonction de ces deux effets — un entier d'un côté, une quantité inférieure à $1$ de l'autre — qui produit la contradiction.

Ingrédient	Rôle dans la preuve
$e = \sum \dfrac{1}{k!}$	fournit une écriture exacte, tronquable
$\dfrac{q!}{k!} \in \mathbb{Z}$ pour $k \leq q$	rend $q!\,S_q$ entier
$e = \dfrac{p}{q}$	rend $q!\,e$ entier
$0 < R_q < \dfrac{1}{q \cdot q!}$	rend $N$ strictement inférieur à $1$

Piège classique

Oublier la stricte positivité de $N$. Sans elle, $N = 0$ resterait possible, et il n'y aurait aucune contradiction : $0$ est un entier parfaitement légitime. Or $R_q$ est une somme de termes tous strictement positifs, donc $N > 0$ — cette ligne, souvent expédiée en copie, est indispensable.