Rationnel, irrationnel, transcendant

Ce qu'il faut vraiment démontrer

Un réel $x$ est rationnel s'il s'écrit comme quotient de deux entiers :

$$x \in \mathbb{Q} \iff \exists (p, q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*,\quad x = \frac{p}{q}$$

Il est irrationnel sinon. Démontrer qu'un nombre est irrationnel, c'est donc prouver une propriété négative : aucune fraction, si compliquée soit-elle, ne convient. C'est pourquoi presque toutes ces preuves procèdent par l'absurde — on suppose la fraction donnée, et on en tire une contradiction arithmétique.

Le calcul numérique ne prouve rien

Les premières décimales de $e$ ne trahissent aucune structure :

$$e = 2{,}718\,281\,828\,459\,045\,235\,360\ldots$$

Le motif $1828$ apparaît deux fois de suite, ce qui est une pure coïncidence. Surtout, aucun calcul fini ne peut conclure : tout nombre rationnel dont le dénominateur est très grand possède un développement décimal périodique, mais de période éventuellement gigantesque.

Nombre	Développement décimal	Nature
$\dfrac{1}{3}$	$0{,}333\ldots$, période $1$	rationnel
$\dfrac{1}{7}$	$0{,}\overline{142857}$, période $6$	rationnel
$\dfrac{1}{97}$	période de $96$ chiffres	rationnel
$\sqrt{2}$	infini non périodique	irrationnel algébrique
$e$	infini non périodique	irrationnel transcendant

Irrationnel n'est pas transcendant

Deux notions à ne pas confondre.

Un réel est algébrique s'il annule un polynôme non nul à coefficients entiers, et transcendant sinon. Ainsi $\sqrt{2}$ est irrationnel, mais algébrique, puisqu'il annule $X^2 - 2$. Le nombre $e$, lui, est irrationnel et transcendant : Hermite l'a démontré en 1873, Lindemann a fait de même pour $\pi$ en 1882.

$$\mathbb{Q} \subset \left\{\text{nombres algébriques}\right\} \subset \mathbb{R}$$

L'irrationalité de $e$ est donc un résultat strictement plus faible que sa transcendance — mais sa démonstration tient en une demi-page, alors que celle de Hermite demande plusieurs pages d'analyse.

Piège classique

Écrire « $e$ est irrationnel car son développement décimal est infini ». C'est faux comme argument : $\dfrac{1}{3}$ a lui aussi un développement décimal infini. Le critère correct est l'absence de périodicité, et il est inutilisable en pratique, puisqu'on ne peut jamais vérifier l'absence de période sur un nombre fini de décimales.