Equation avec second membre : solution particuliere

Structure de la solution generale

Pour ay'' + by' + c*y = f(x), la solution generale s'ecrit : y = y_h + y_p ou y_h est la solution generale de l'equation homogene associee (vue precedemment) et y_p une solution particuliere quelconque de l'equation complete.

Recherche par identification

On choisit une forme de y_p adaptee a f(x) :

Type de f(x)	Forme de y_p a essayer
Polynome de degre n	Polynome de degre n (ou n+1 si 0 est racine de l'eq. caracteristique)
K * exp(m*x)	Aexp(mx) (ou Axexp(mx) si m racine simple, Ax^2exp(mx) si racine double)
Kcos(wx) ou Ksin(wx)	Acos(wx) + Bsin(wx)

Exemple

Resoudre y'' - 3y' + 2y = e^(3x). Homogene (vu precedemment) : y_h = C1exp(x) + C2exp(2x). Comme 3 n'est pas racine de l'equation caracteristique, on essaie y_p = Aexp(3x). En derivant et en reportant : (9A - 9A + 2A)exp(3x) = e^(3x) -> 2A = 1 -> A = 1/2 Solution generale : y(x) = C1exp(x) + C2exp(2x) + (1/2)*exp(3x)

Piege classique : le phenomene de resonance

Si le second membre exp(mx) a m egal a une racine de l'equation caracteristique, essayer Aexp(m*x) donne 0 = f(x), ce qui est absurde. Il faut alors multiplier par x (ou x^2 si racine double) : c'est le phenomene de resonance, frequent en physique pour des oscillateurs forces a leur frequence propre.

Determination des constantes

Une fois y = y_h + y_p trouve, les constantes C1, C2 se fixent grace a deux conditions initiales (y(x0) et y'(x0)), car l'espace des solutions homogenes est de dimension 2.