Definitions et equations a variables separables

Qu'est-ce qu'une equation differentielle ?

Une equation differentielle est une relation entre une fonction inconnue y(x) et ses derivees y'(x), y''(x), etc. L'ordre de l'equation est celui de la derivee la plus elevee qui y figure. Resoudre une equation differentielle, c'est trouver toutes les fonctions y qui verifient cette relation sur un intervalle donne.

Equations a variables separables

Une equation du premier ordre est dite a variables separables si elle peut s'ecrire sous la forme : g(y) * y' = f(x) On separe alors les variables : g(y) dy = f(x) dx, puis on integre chaque membre separement.

Exemple : resoudre y' = x * y (avec y non nul). On ecrit dy/y = x dx, puis on integre : ln|y| = x^2/2 + C D'ou y = K * exp(x^2/2), avec K = +/- exp(C), K reel quelconque (y = 0 est aussi solution).

Piege classique

Diviser par y suppose y non nul : il faut toujours verifier si y = 0 (ou toute racine de g) est une solution "perdue" lors de la separation, puis la reintegrer a la famille de solutions.

Condition initiale

Une equation differentielle du premier ordre a une infinite de solutions, dependant d'une constante C. Une condition initiale y(x0) = y0 permet de determiner une solution unique parmi cette famille : c'est un probleme de Cauchy.