Equations lineaires du premier ordre

Forme generale

Une equation differentielle lineaire du premier ordre s'ecrit : y' + a(x) * y = b(x) avec a et b des fonctions continues sur un intervalle I. Le cas b(x) = 0 est dit homogene (ou sans second membre).

Resolution de l'equation homogene

On resout d'abord y' + a(x)*y = 0, qui est a variables separables : y'/y = -a(x) -> ln|y| = -A(x) + C, avec A une primitive de a D'ou y_h(x) = K * exp(-A(x)), K reel.

Methode de variation de la constante

Pour trouver une solution particuliere de l'equation complete, on pose y(x) = K(x) * exp(-A(x)), K(x) devenant une fonction. En reportant dans l'equation, le terme en K*y_h s'annule (car y_h est solution de l'homogene), et il reste : K'(x) = b(x) * exp(A(x)) On integre pour obtenir K(x), puis y(x).

Exemple

Resoudre y' + 2y = e^(-x). Homogene : y_h = K * exp(-2x). Variation : K'(x) = e^(-x) * e^(2x) = e^x, donc K(x) = e^x + C. Solution generale : y(x) = (e^x + C) * e^(-2x) = e^(-x) + C * e^(-2x)

Tableau recapitulatif

Etape	Action
1	Resoudre l'equation homogene associee
2	Appliquer la variation de la constante
3	Integrer K'(x) pour obtenir K(x)
4	Ecrire y = K(x) * y_h(x)

Piege : ne pas oublier le facteur exp(A(x)) correct - une erreur de signe sur a(x) inverse tout le calcul et donne une solution fausse.