Equations lineaires du second ordre a coefficients constants
Equation homogene et equation caracteristique
Forme generale
On etudie les equations ay'' + by' + c*y = 0, avec a, b, c reels et a different de 0. C'est une equation lineaire homogene du second ordre a coefficients constants.
Equation caracteristique
On cherche des solutions de la forme y = exp(rx). En reportant dans l'equation : ar^2 + b*r + c = 0 C'est l'equation caracteristique. Son discriminant delta = b^2 - 4ac determine la nature des solutions.
Les trois cas
| Discriminant | Racines | Solution generale |
|---|---|---|
| delta > 0 | r1, r2 reelles distinctes | y = C1exp(r1x) + C2exp(r2x) |
| delta = 0 | r0 racine double | y = (C1 + C2x) * exp(r0x) |
| delta < 0 | r = p +/- i*q complexes | y = exp(px) * (C1cos(qx) + C2sin(q*x)) |
Exemple
Resoudre y'' - 3y' + 2y = 0. Equation caracteristique : r^2 - 3r + 2 = 0, delta = 1, racines r = 1 et r = 2. Solution generale : y(x) = C1exp(x) + C2exp(2x)
Autre exemple : y'' + 4y = 0. r^2 + 4 = 0, racines imaginaires pures r = +/- 2i (p = 0, q = 2). Solution : y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x)
Piege classique
Pour delta = 0, oublier le facteur x devant C2 est une erreur frequente : la racine double impose une solution "resonante" xexp(r0x), sinon on perd une dimension de l'espace des solutions, qui doit etre de dimension 2 pour une equation d'ordre 2.