Etude locale et developpements asymptotiques

DL en un point a different de 0

Pour obtenir un DL de f en a, on pose h = x - a et on cherche le DL de g(h) = f(a+h) au voisinage de h = 0, puis on revient a x.

Exemple : DL de ln(x) en a = 1 a l'ordre 2. On pose x = 1 + h : ln(1+h) = h - h^2/2 + o(h^2), donc ln(x) = (x-1) - (x-1)^2/2 + o((x-1)^2)

Position par rapport a la tangente

Si f admet en a un DL a l'ordre 2 : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + c*(x-a)^2 + o((x-a)^2), alors y = f(a) + f'(a)(x-a) est la tangente en a, et le signe de c donne la position de la courbe :

• c > 0 : la courbe est au-dessus de la tangente pres de a
• c < 0 : la courbe est en dessous
• c = 0 : il faut aller a l'ordre superieur (point d'inflexion possible)

Developpement asymptotique en +infini

Pour etudier une branche infinie, on pose x = 1/t (t -> 0+) et on cherche un DL de f(1/t) en 0, ce qui donne une asymptote et la position de la courbe par rapport a celle-ci.

Exemple : f(x) = sqrt(x^2+1). Pour x -> +infini : f(x) = xsqrt(1+1/x^2) = x(1 + 1/(2x^2) + o(1/x^2)) = x + 1/(2x) + o(1/x). L'asymptote est y = x, et la courbe est au-dessus car 1/(2x) > 0 pour x > 0.

Piege classique

Ne pas oublier de mettre x en facteur commun quand on etudie une asymptote en +/- infini : le DL doit porter sur une expression tendant vers 0 (ici 1/x), pas directement sur x.