Calcul de limites et equivalents avec les DL

Pourquoi utiliser les DL pour les limites ?

Les developpements limites permettent de lever des formes indeterminees (0/0, infini/infini, 1^infini...) en remplacant une fonction complexe par un polynome equivalent au voisinage du point etudie.

Methode

1. Identifier le point ou tend x (souvent 0, parfois +infini via x = 1/t).
2. Choisir l'ordre du DL suffisant pour que le premier terme non nul de chaque expression apparaisse.
3. Remplacer chaque terme par son DL, simplifier, puis passer a la limite.

Exemple : calculer lim x->0 de (e^x - 1 - x) / x^2

DL de e^x a l'ordre 2 : e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2). Donc e^x - 1 - x = x^2/2 + o(x^2). Le quotient devient : (x^2/2 + o(x^2)) / x^2 = 1/2 + o(1) -> 1/2

Equivalents a partir d'un DL

Le premier terme non nul d'un DL fournit un equivalent : si f(x) = a_k(x-a)^k + o((x-a)^k) avec a_k different de 0, alors f(x) ~ a_k(x-a)^k au voisinage de a.

Exemple : sin(x) - x ~ -x^3/6 en 0, car sin(x) = x - x^3/6 + o(x^3).

Piege classique

Ne jamais utiliser un equivalent dans une somme ou une difference si cela revient a soustraire deux termes du meme ordre : on perd l'information utile. Il faut alors pousser le DL a l'ordre superieur, comme dans l'exemple e^x - 1 - x ci-dessus. Les equivalents se manipulent bien pour un produit ou un quotient, mais pas pour une somme ou une difference.