Developpements limites usuels et operations

Les DL de reference en 0

Il faut connaitre par coeur les DL suivants au voisinage de 0 :

Fonction	DL a l'ordre n
e^x	1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ... + x^n/n! + o(x^n)
sin(x)	x - x^3/3! + x^5/5! - ... + o(x^(2n+1))
cos(x)	1 - x^2/2! + x^4/4! - ... + o(x^(2n))
ln(1+x)	x - x^2/2 + x^3/3 - ... + (-1)^(n+1) x^n/n + o(x^n)
1/(1-x)	1 + x + x^2 + ... + x^n + o(x^n)
(1+x)^a	1 + a*x + a(a-1)/2! * x^2 + ... + o(x^n)

Operations autorisees sur les DL

• Somme et produit : on additionne ou multiplie les DL en tronquant a l'ordre n commun.
• Composition : si g(0) = 0, on peut composer un DL de f par un DL de g (substitution).
• Division : on peut diviser deux DL si le denominateur ne s'annule pas en a (sinon on factorise d'abord).
• Integration : le DL d'une primitive s'obtient en integrant terme a terme (attention a la constante).
• Derivation : deconseillee en general, elle fait perdre un ordre de precision et suppose que le DL derive existe.

Exemple : DL de e^x * cos(x) a l'ordre 2 en 0.

e^x = 1 + x + x^2/2 + o(x^2) et cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^2)

Produit tronque a l'ordre 2 : 1 + x + x^2/2 - x^2/2 + o(x^2) = 1 + x + o(x^2)

Piege classique

Lors d'un produit ou d'une composition, il faut developper chaque DL a un ordre suffisant AVANT de tronquer : oublier un terme d'ordre inferieur a n dans un facteur peut faire disparaitre un terme utile du resultat final.