Definition et formule de Taylor-Young

Qu'est-ce qu'un developpement limite ?

Un developpement limite (DL) d'une fonction f au voisinage d'un point a, a l'ordre n, est une ecriture approchee de f(x) sous forme d'un polynome en (x-a), assortie d'un reste negligeable :

f(x) = a0 + a1(x-a) + a2(x-a)^2 + ... + an(x-a)^n + (x-a)^n * epsilon(x)

avec epsilon(x) -> 0 quand x -> a. On note souvent le reste sous forme de Landau : o((x-a)^n).

Formule de Taylor-Young

Si f est n fois derivable en a, alors elle admet un DL a l'ordre n donne par :

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2! * (x-a)^2 + ... + f^(n)(a)/n! * (x-a)^n + o((x-a)^n)

Exemple : DL de f(x) = sqrt(1+x) en 0 a l'ordre 2.

f(0) = 1, f'(x) = 1/(2sqrt(1+x)) donc f'(0) = 1/2. f''(x) = -1/4(1+x)^(-3/2) donc f''(0) = -1/4.

DL : sqrt(1+x) = 1 + x/2 - x^2/8 + o(x^2)

Unicite du DL

Si un DL existe, il est unique : deux polynomes qui approchent la meme fonction a o((x-a)^n) pres sont necessairement egaux. Cette unicite permet d'utiliser n'importe quelle methode (Taylor, substitution, produit...) pour l'obtenir, sans se soucier de la methode choisie.

Piege classique

Ne confondez pas "n fois derivable" et "un DL a l'ordre n existe" : l'existence d'un DL n'implique pas que f soit n fois derivable, mais la reciproque (Taylor-Young) est vraie des que f est de classe C^n en a.