Enonce et preuve du theoreme des valeurs intermediaires

Enonce du theoreme

Soit f une fonction continue sur un intervalle ferme [a, b], avec a <= b. Pour tout reel k compris entre f(a) et f(b) (c'est-a-dire f(a) <= k <= f(b) ou f(b) <= k <= f(a)), il existe au moins un c dans [a, b] tel que f(c) = k.

Autrement dit : une fonction continue ne peut pas "sauter" d'une valeur a une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires.

Idee de la preuve (dichotomie)

On suppose f(a) <= k <= f(b). On construit une suite d'intervalles emboites [a_n, b_n] par dichotomie : on coupe [a, b] en deux, on garde la moitie ou le changement de signe de f(x) - k persiste, et on repete. Les suites (a_n) et (b_n) convergent vers une meme limite c, et par continuite de f, f(c) = k. Cette methode constructive donne aussi un algorithme numerique pour approcher c.

Exemple concret

Soit f(x) = x^3 - x - 1 sur [1, 2]. On a f(1) = -1 et f(2) = 5. Comme f est continue (polynome) et que 0 est compris entre -1 et 5, le TVI garantit l'existence d'un c dans [1, 2] tel que f(c) = 0, c'est-a-dire une racine reelle de l'equation x^3 - x - 1 = 0.

Piege classique

Le TVI exige la continuite sur un intervalle : il ne s'applique pas si f presente une discontinuite entre a et b, meme si f(a) et f(b) encadrent k. Contre-exemple : f(x) = 1/x sur [-1, 1] avec f(-1) = -1 et f(1) = 1 ne prend jamais la valeur 0, car f n'est pas continue en 0 (elle n'y est meme pas definie).