Continuite sur un intervalle et operations

Continuite sur un intervalle

On dit que f est continue sur un intervalle I si elle est continue en chaque point de I (avec continuite a droite ou a gauche aux bornes fermees eventuelles). Les fonctions usuelles (polynomes, exponentielle, sinus, cosinus, racine carree sur son domaine) sont continues sur leur ensemble de definition : ce sont des resultats a memoriser et non a redemontrer a chaque fois.

Theoremes operatoires

Si f et g sont continues en a, alors :

• f + g et f * g sont continues en a
• f / g est continue en a si g(a) != 0
• g o f (composee) est continue en a si f est continue en a et g continue en f(a)

Exemple

h(x) = sqrt(x^2 + 1) est continue sur R tout entier : x -> x^2 + 1 est continue (polynome) et strictement positive, sqrt est continue sur [0, +inf[, donc la composee est continue sur R.

Tableau recapitulatif

Fonction	Domaine de continuite
polynome	R
1/x	R prive de 0
sqrt(x)	[0, +inf[
ln(x)	]0, +inf[

Piege classique

Attention au quotient : f/g n'est continue que la ou g ne s'annule pas. La fonction tan(x) = sin(x)/cos(x) est continue sur R prive des points ou cos(x) = 0, pas sur R entier. Verifiez toujours le domaine de definition avant d'invoquer la continuite d'un quotient ou d'une composee.