Corollaire de la bijection et applications pratiques

Le theoreme de la bijection (TVI + stricte monotonie)

Si f est continue et strictement monotone sur [a, b], alors pour tout k strictement compris entre f(a) et f(b), il existe un UNIQUE c dans ]a, b[ tel que f(c) = k. La continuite donne l'existence (TVI), la stricte monotonie donne l'unicite.

Application : existence et unicite d'une racine

Reprenons f(x) = x^3 - x - 1 sur [1, 2]. On calcule f'(x) = 3x^2 - 1, strictement positive sur [1, 2] (car x >= 1 implique 3x^2 - 1 >= 2 > 0), donc f est strictement croissante. Avec f(1) = -1 < 0 < 5 = f(2), le theoreme de la bijection assure l'existence et l'unicite d'un c dans ]1, 2[ tel que f(c) = 0.

Methode de dichotomie pour approcher la racine

Etape	Intervalle	Signe de f au milieu
0	[1, 2]	f(1.5) = 0.875 > 0
1	[1, 1.5]	f(1.25) = -0.297 < 0
2	[1.25, 1.5]	f(1.375) approx 0.224 > 0

On encadre ainsi c de plus en plus finement (c approx 1.3247, le nombre plastique).

Piege classique

Ne pas confondre le TVI (qui donne seulement l'EXISTENCE d'au moins une solution) et le theoreme de la bijection (qui donne existence ET unicite grace a la monotonie stricte). Sans hypothese de monotonie, il peut exister plusieurs solutions c dans [a, b] verifiant f(c) = k, et affirmer l'unicite sans justifier la stricte monotonie est une erreur de redaction frequente en copie.