Definir la continuite en un point

Intuition et definition formelle

Une fonction f est continue en un point a de son domaine si sa valeur en a coincide avec sa limite quand x tend vers a, sans saut ni trou. Formellement, on definit :

f est continue en a <=> lim(x->a) f(x) = f(a)

En version epsilon-delta (la definition rigoureuse a connaitre au niveau superieur) :

Pour tout epsilon > 0, il existe delta > 0 tel que pour tout x, |x - a| <= delta implique |f(x) - f(a)| <= epsilon.

Exemple detaille

Soit f(x) = x^2. En a = 3, on a f(3) = 9. On verifie que lim(x->3) x^2 = 9, donc f est continue en 3. A l'inverse, la fonction partie entiere f(x) = floor(x) n'est pas continue en a = 2 : la limite a gauche vaut 1, la limite a droite vaut 2, elles different et ne valent pas toutes deux f(2) = 2.

Continuite a gauche, a droite

Notion	Condition
Continuite a gauche en a	lim(x->a-) f(x) = f(a)
Continuite a droite en a	lim(x->a+) f(x) = f(a)
Continuite en a	les deux precedentes sont vraies

Piege classique

Ne confondez pas "f admet une limite en a" et "f est continue en a". Une fonction peut avoir une limite finie en a sans que celle-ci soit egale a f(a) (point de discontinuite dit "eliminable"). Exemple : f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) pour x != 1 et f(1) = 5. La limite en 1 vaut 2, mais f(1) = 5, donc f n'est pas continue en 1, meme si la limite existe.