Problemes d'optimisation

Demarche generale

Pour resoudre un probleme d'optimisation avec la derivation :

1. Modeliser la situation par une fonction d'une seule variable.
2. Determiner le domaine de definition en tenant compte des contraintes physiques (longueurs positives, etc.).
3. Deriver la fonction et etudier le signe de la derivee.
4. Conclure sur la nature de l'extremum (maximum ou minimum) et calculer sa valeur.

Exemple

On fabrique une boite sans couvercle a partir d'une plaque carree de cote 12 cm, en decoupant aux quatre coins des carres de cote x puis en repliant les bords. Le volume est :

V(x) = x * (12 - 2x)^2, avec 0 < x < 6

On derive : V'(x) = (12-2x)^2 - 4x(12-2x) = (12-2x) * [(12-2x) - 4x] = (12-2x)(12-6x)

V'(x) = 0 pour x = 6 (exclu du domaine) ou x = 2.

• Pour 0 < x < 2 : V'(x) > 0, V croit.
• Pour 2 < x < 6 : V'(x) < 0, V decroit.

Donc V admet un maximum en x = 2, avec V(2) = 2 * 8^2 = 128 cm^3.

Piege

Il faut toujours restreindre le domaine d'etude aux valeurs physiquement possibles. Ici, x = 6 annule bien V'(x) mais correspond a un volume nul (donc sans interet), et les valeurs de x en dehors de ]0 ; 6[ n'ont pas de sens pour ce probleme de decoupe.