Signe de la derivee et sens de variation

Le lien fondamental

La derivee f'(x) d'une fonction f renseigne directement sur son sens de variation sur un intervalle I :

• si f'(x) >= 0 sur I (nulle en des points isoles au plus), alors f est croissante sur I ;
• si f'(x) <= 0 sur I, alors f est decroissante sur I ;
• si f'(x) = 0 sur tout I, alors f est constante sur I.

Methode

1. Calculer f'(x).
2. Etudier le signe de f'(x) (factorisation, tableau de signes).
3. En deduire le tableau de variations de f.

Exemple

Soit f(x) = x^2 - 4x + 3. On a f'(x) = 2x - 4, qui s'annule en x = 2.

• Pour x < 2 : f'(x) < 0, donc f decroit.
• Pour x > 2 : f'(x) > 0, donc f croit.

Tableau de variations

x	-infini		2		+infini
f'(x)		-	0	+
f(x)	+infini (decroit)		-1		+infini (croit)

Piege classique

Un point ou f'(x) = 0 n'est pas forcement une rupture de sens de variation : il faut que le signe de f' change reellement autour de ce point. Par exemple pour f(x) = x^3, f'(x) = 3x^2 >= 0 partout, donc f est croissante sur R tout entier, meme si f'(0) = 0.