Extremums locaux d'une fonction

Definitions

On dit que f admet un maximum local en x0 s'il existe un intervalle autour de x0 sur lequel f(x) <= f(x0). De meme, f admet un minimum local en x0 si f(x) >= f(x0) au voisinage de x0.

Condition necessaire

Si f est derivable en x0 et admet un extremum local en x0, alors f'(x0) = 0. Attention, la reciproque est fausse : f'(x0) = 0 ne garantit pas un extremum (voir le piege ci-dessous).

Methode pratique

Pour trouver les extremums locaux :

1. Resoudre f'(x) = 0 pour obtenir les points candidats.
2. Etudier le signe de f' de part et d'autre de chaque candidat.
3. Si le signe change, c'est un extremum local (max si + vers -, min si - vers +). Sinon, c'est un point d'inflexion.

Exemple

Soit f(x) = x^3 - 3x. On a f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1), qui s'annule en x = -1 et x = 1.

• Pour x < -1 : f' > 0 (croissante).
• Entre -1 et 1 : f' < 0 (decroissante).
• Pour x > 1 : f' > 0 (croissante).

Le signe change en x = -1 (maximum local, f(-1) = 2) et en x = 1 (minimum local, f(1) = -2).

Piege

Pour f(x) = x^3, f'(x) = 3x^2 s'annule en x = 0, mais le signe de f' ne change pas (positif avant et apres). Il n'y a donc aucun extremum en x = 0, seulement un point d'inflexion : toujours verifier le changement de signe, pas seulement l'annulation de f'.