Des lois de Kepler à la gravitation universelle

De Kepler à Newton

Isaac Newton démontre que les lois de Kepler découlent de la loi de gravitation universelle F = Gm1m2/r^2. Pour une orbite circulaire de rayon r, l'égalité entre force gravitationnelle et force centripète donne : GMm/r^2 = mv^2/r d'où v = sqrt(GM/r).

Retrouver la troisième loi

En remplaçant v = 2pir/T dans l'expression précédente : (2pir/T)^2 = GM/r soit T^2 = (4pi^2/(G*M)) * r^3

Le rapport T^2/r^3 = 4pi^2/(GM) ne dépend que de la masse M du corps attracteur (le Soleil, ou la Terre pour un satellite). C'est la généralisation de la troisième loi de Kepler, valable aussi pour une orbite elliptique en remplaçant r par a, le demi-grand axe.

Exemple numérique

Pour un satellite terrestre, M = 5,97 x 10^24 kg et G = 6,67 x 10^-11 (unités SI). Pour r = 42 164 km (orbite géostationnaire), on retrouve T = 86 164 s, soit environ un jour sidéral (23h56min).

Piège classique

Attention aux unités : G*M doit être combiné avec r en mètres et T en secondes. Une erreur fréquente consiste à garder le rayon en kilomètres sans conversion, ce qui fausse le résultat d'un facteur 10^9 sur r^3.

Moment cinétique et loi des aires

La loi des aires équivaut à dL/dt = 0, où L = mr^2(dtheta/dt) est le moment cinétique. Cette conservation résulte du caractère central de la force gravitationnelle : le moment de la force par rapport au foyer est nul car F est toujours colinéaire au vecteur position.