Régime sinusoïdal forcé et impédance complexe

Circuit RLC alimenté en sinusoïdal

On alimente maintenant le circuit RLC série par un générateur de tension e(t) = Emcos(omegat). En régime permanent (établi), le courant s'écrit i(t) = Imcos(omegat - phi) : même pulsation que l'excitation, mais amplitude Im et phase phi dépendent de omega.

Impédance complexe

En notation complexe, chaque dipôle possède une impédance :

• Résistance : Z_R = R
• Bobine : Z_L = jLomega
• Condensateur : Z_C = 1/(jComega) = -j/(C*omega)

L'impédance totale du circuit série est la somme :

Z = R + j*(Lomega - 1/(Comega))

Le module |Z| = sqrt(R^2 + (Lomega - 1/(Comega))^2) relie les amplitudes : Im = Em/|Z|.

Résonance en intensité

Le courant est maximal quand |Z| est minimal, c'est-à-dire quand la partie imaginaire de Z s'annule :

Lomega - 1/(Comega) = 0 -> omega = omega0 = 1/sqrt(L*C)

À la résonance, Z = R (purement résistif), le courant est en phase avec la tension d'alimentation, et Im = Em/R, valeur maximale absolue.

Exemple

Avec L = 1 H, C = 1 uF, R = 100 ohms, Em = 10 V : omega0 = 1000 rad/s. À cette pulsation, Im = 10/100 = 0.1 A, alors qu'à omega = 100 rad/s, |Z| est bien plus grand et Im nettement plus faible.

Piège classique

Ne pas oublier que la résonance en intensité a toujours lieu exactement à omega0, quelle que soit R : R influence seulement la hauteur et la largeur du pic de résonance, jamais sa position.