Mise en équation du circuit RLC série

Le circuit RLC série

Un circuit RLC série comprend une résistance R, une bobine d'inductance L et un condensateur de capacité C, montés en série sans générateur (circuit libre). On charge initialement le condensateur puis on ferme l'interrupteur : le système évolue seul, sans apport extérieur d'énergie.

Mise en équation

La loi des mailles donne, avec q(t) la charge du condensateur et i = dq/dt :

Ld^2q/dt^2 + Rdq/dt + q/C = 0

C'est une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, sans second membre.

Forme canonique

On introduit deux paramètres caractéristiques :

• omega0 = 1/sqrt(L*C) : pulsation propre du circuit
• Q = (1/R)*sqrt(L/C) : facteur de qualité

L'équation se réécrit alors sous forme canonique :

d^2q/dt^2 + (omega0/Q)dq/dt + omega0^2q = 0

Équation caractéristique

En cherchant des solutions du type exp(r*t), on obtient l'équation caractéristique :

r^2 + (omega0/Q)*r + omega0^2 = 0

Le signe du discriminant Delta = (omega0/Q)^2 - 4*omega0^2 détermine la nature du régime transitoire, étudiée dans la leçon suivante.

Piège classique

Ne pas confondre la charge q(t) et l'intensité i(t) = dq/dt : écrire directement la loi des mailles sur i sans repasser par q est une source fréquente d'erreur de signe sur le terme résistif.