Forme locale des équations de Maxwell

Des intégrales aux équations locales

En appliquant le théorème de Green-Ostrogradski (flux-divergence) et le théorème de Stokes (circulation-rotationnel) aux quatre équations intégrales, on obtient une forme locale, valable en tout point de l'espace :

Nom	Forme locale
Maxwell-Gauss	div(E) = rho / epsilon0
Maxwell-Thomson (flux)	div(B) = 0
Maxwell-Faraday	rot(E) = - dB/dt
Maxwell-Ampère	rot(B) = mu0J + mu0epsilon0*dE/dt

Où rho est la densité volumique de charge, J la densité de courant, et les dérivées temporelles sont des dérivées partielles.

Exemple

Si en un point on mesure div(E) = 5 000 (en V/m par mètre) et epsilon0 = 8.85e-12 F/m, alors la densité de charge locale vaut rho = epsilon0 * div(E) = 8.85e-12 * 5000 ~ 4.4e-8 C/m^3. La forme locale permet ainsi de remonter aux sources en un point précis, sans connaître le champ ailleurs.

Piège classique

Ne pas confondre div (un scalaire, mesure de source/puits d'un champ vectoriel) et rot (un vecteur, mesure de la circulation locale). Une autre erreur fréquente est d'oublier que dE/dt et dB/dt désignent des dérivées partielles par rapport au temps, à position fixe, et non des dérivées totales le long d'une trajectoire.