Hypothèses et établissement de la relation de Bernoulli

Le cadre du modèle

La relation de Bernoulli décrit l'écoulement d'un fluide parfait (non visqueux), incompressible, en régime permanent (stationnaire), le long d'une ligne de courant. Ces quatre hypothèses sont essentielles : dès qu'une seule n'est plus vérifiée, la relation classique ne s'applique plus telle quelle.

Établissement à partir du théorème de l'énergie cinétique

En appliquant le théorème de l'énergie cinétique à une tranche de fluide comprise entre deux sections d'un tube de courant, et en tenant compte du travail des forces de pression et du poids, on obtient entre deux points 1 et 2 d'une même ligne de courant :

P1 + (1/2) * rho * v1^2 + rho * g * z1 = P2 + (1/2) * rho * v2^2 + rho * g * z2

où P est la pression statique (Pa), rho la masse volumique (kg/m^3), v la vitesse (m/s), g l'accélération de pesanteur (environ 9.81 m/s^2) et z l'altitude (m).

Une grandeur constante le long d'une ligne de courant

Cette somme se conserve le long d'une même ligne de courant :

P + (1/2) * rho * v^2 + rho * g * z = constante

Terme	Signification physique
P	énergie de pression par unité de volume
(1/2) * rho * v^2	énergie cinétique par unité de volume
rho * g * z	énergie potentielle de pesanteur par unité de volume

Pièges classiques

Un piège fréquent consiste à appliquer Bernoulli entre deux points qui ne sont pas situés sur la même ligne de courant, sans avoir justifié que l'écoulement est irrotationnel (auquel cas la constante est la même dans tout le fluide). Un autre piège classique : oublier que le fluide doit rester incompressible, ce qui est faux pour un gaz à grande vitesse (nombre de Mach élevé).