Le théorème de Bernoulli

Énoncé du théorème de Bernoulli

Pour un fluide parfait (non visqueux), incompressible, en écoulement stationnaire le long d'une ligne de courant, le théorème de Bernoulli exprime la conservation de l'énergie mécanique par unité de volume :

P + (1/2) * rho * v^2 + rho * g * z = constante

où P est la pression statique, (1/2)rhov^2 la pression dynamique (liée à l'énergie cinétique), et rhogz le terme de position (énergie potentielle de pesanteur).

Interprétation physique

Cette relation traduit un compromis entre pression, vitesse et altitude : là où la vitesse augmente, la pression diminue (à altitude constante), et inversement. C'est le principe qui explique la portance d'une aile d'avion et l'effet Venturi.

Exemple concret : le tube de Venturi

Dans une conduite horizontale (z constant) qui se rétrécit, la vitesse augmente (équation de continuité) donc la pression chute. En mesurant cette différence de pression, on peut déduire le débit :

P1 + (1/2)rhov1^2 = P2 + (1/2)rhov2^2

Exemple numérique

De l'air (rho = 1,2 kg/m^3) à v1 = 10 m/s et P1 = 101325 Pa passe à v2 = 20 m/s dans un rétrécissement. La chute de pression vaut : deltaP = (1/2) * rho * (v2^2 - v1^2) = 0,6 * (400 - 100) = 180 Pa.

Pièges classiques

• Bernoulli ne s'applique qu'à une même ligne de courant, en écoulement stationnaire et sans perte par frottement (fluide parfait).
• On ne peut pas l'appliquer directement entre deux points reliés par une pompe, une turbine, ou en présence de fortes pertes de charge visqueuses, sans ajouter un terme correctif à l'équation.