Produit scalaire : definitions et proprietes

Definition analytique

Dans un repere orthonorme de l'espace, le produit scalaire de u(x1,y1,z1) et v(x2,y2,z2) est le reel : u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

Definition geometrique

On a aussi u.v = ||u|| . ||v|| . cos(theta), ou theta est l'angle forme par u et v. Cette double definition permet de calculer un angle a partir des coordonnees : cos(theta) = (u.v) / (||u|| . ||v||)

Exemple : u(1,0,1), v(0,1,1). u.v = 0+0+1 = 1. ||u|| = sqrt(2), ||v|| = sqrt(2). cos(theta) = 1/2, donc theta = pi/3 (60 degres).

Proprietes

• Symetrie : u.v = v.u
• Bilinearite : u.(v+w) = u.v + u.w et (k.u).v = k.(u.v)
• u.u = ||u||^2 >= 0
• u.v = 0 si et seulement si u et v sont orthogonaux (ou l'un est nul)

Propriete	Enonce
Symetrie	u.v = v.u
Bilinearite	u.(v+w) = u.v + u.w
Norme	u.u =
Orthogonalite	u.v = 0 <=> u perp v

Piege classique

Le produit scalaire donne un nombre (un scalaire), jamais un vecteur : ecrire "u.v = (2,3,1)" est une erreur frequente en debut d'annee. Ne confondez pas non plus avec le produit vectoriel, qui lui renvoie un vecteur.