Coordonnees et operations sur les vecteurs de l'espace

Reperage dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repere (O, i, j, k), tout point M est repere par ses coordonnees (x, y, z). Un vecteur u = vecteur(AB) associe aux points A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) a pour coordonnees : u(xB - xA, yB - yA, zB - zA)

Norme d'un vecteur

La norme (longueur) d'un vecteur u(x, y, z) est donnee par : ||u|| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Exemple : si u(2, -1, 2), alors ||u|| = sqrt(4 + 1 + 4) = sqrt(9) = 3.

Operations sur les vecteurs

Comme dans le plan, on definit :

• Somme : u + v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
• Produit par un scalaire : k.u = (k.x, k.y, k.z)

Operation	Formule	Exemple avec u(1,2,-1), v(3,0,2)
u + v	(x1+x2, y1+y2, z1+z2)	(4, 2, 1)
2u	(2x1, 2y1, 2z1)	(2, 4, -2)
u - v	(x1-x2, y1-y2, z1-z2)	(-2, 2, -3)

Piege classique

Attention a ne pas confondre les coordonnees d'un point et celles d'un vecteur : vecteur(AB) se calcule TOUJOURS par "coordonnees de B moins coordonnees de A", jamais l'inverse. Une inversion de l'ordre change le sens (et le signe) du vecteur.