Orthogonalite, projections et produit vectoriel

Vecteur normal a un plan

Un vecteur n non nul est normal a un plan P s'il est orthogonal a deux vecteurs non colineaires de P (donc a tous les vecteurs de P). Si n(a,b,c) est normal a P et A(x0,y0,z0) appartient a P, une equation cartesienne de P est : a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0, soit ax+by+cz+d=0

Projection orthogonale

La projection orthogonale de v sur la droite dirigee par u (u non nul) est le vecteur : p = ((u.v)/||u||^2) . u

Cette formule sert notamment a calculer la distance d'un point a une droite ou a un plan.

Produit vectoriel (rappel utile)

Le produit vectoriel u^v de u(x1,y1,z1) et v(x2,y2,z2) est le vecteur : u^v = (y1.z2 - z1.y2, z1.x2 - x1.z2, x1.y2 - y1.x2)

Il est orthogonal a u et a v simultanement, ce qui en fait un outil direct pour trouver un vecteur normal a un plan defini par deux vecteurs directeurs.

Exemple : u(1,0,0), v(0,1,0) donnent u^v = (0.0-0.1, 0.0-1.0, 1.1-0.0) = (0, 0, 1).

Outil	Resultat	Usage principal
Produit scalaire	scalaire	angle, orthogonalite
Produit vectoriel	vecteur	vecteur normal, aire
Projection	vecteur	distance point-droite

Piege classique

Le produit vectoriel n'est defini (dans ce cadre) qu'en dimension 3 et n'est pas commutatif : u^v = -(v^u). Inverser l'ordre change le signe du resultat, ce qui peut fausser l'orientation d'un vecteur normal.