Colinearite, coplanarite et combinaisons lineaires

Vecteurs colineaires

Deux vecteurs u et v sont colineaires s'il existe un reel k tel que v = k.u (ou l'un des deux est nul). Dans l'espace, la colinearite se teste coordonnee par coordonnee : les rapports x2/x1, y2/y1, z2/z1 doivent etre egaux (quand les denominateurs sont non nuls).

Exemple : u(2, -4, 6) et v(1, -2, 3) verifient v = (1/2).u : ils sont colineaires. Cela permet de demontrer l'alignement de trois points A, B, C : A, B, C sont alignes si vecteur(AB) et vecteur(AC) sont colineaires.

Combinaison lineaire et coplanarite

Un vecteur w est combinaison lineaire de u et v s'il existe des reels a et b tels que w = a.u + b.v. Trois vecteurs non nuls u, v, w de l'espace sont coplanaires si l'un est combinaison lineaire des deux autres, c'est-a-dire s'il existe a et b tels que w = a.u + b.v.

Methode pratique

Pour tester la coplanarite de u, v, w, on resout le systeme forme par les trois equations (une par coordonnee) d'inconnues a et b. Si le systeme admet une solution (a, b), les vecteurs sont coplanaires ; sinon ils forment une base de l'espace (independants).

Vecteurs	Coplanaires ?	Justification
u(1,0,0), v(0,1,0), w(2,3,0)	Oui	w = 2u + 3v
u(1,0,0), v(0,1,0), w(0,0,1)	Non	systeme incompatible

Piege classique

Ne pas conclure trop vite a la coplanarite en verifiant seulement deux coordonnees sur trois : le systeme doit etre coherent sur les TROIS equations simultanement, sinon le calcul est faux.