Variance et écart-type

Deux jeux peuvent avoir la même espérance et n'avoir rien à voir : l'un tranquille, l'autre risqué. Ce que l'espérance ignore, la variance le mesure.

Le problème

Jeu A : on gagne 1 € avec probabilité 1/2, on perd 1 € sinon.     E = 0
Jeu B : on gagne 1000 € avec probabilité 1/2, on perd 1000 € sinon. E = 0

Même espérance, même équité — et pourtant personne ne les confond. Il manque une mesure de l'étalement des valeurs autour de la moyenne.

La variance

V(X) = E[ (X - E(X))² ]

On mesure l'écart de chaque valeur à la moyenne, on l'élève au carré (pour que les écarts négatifs ne compensent pas les positifs), et on en prend la moyenne pondérée.

V(X) = Σ (xi - E(X))² · P(X = xi)

La variance est toujours positive ou nulle. Elle vaut 0 uniquement si X est constante.

La formule de calcul

Développer le carré donne une formule bien plus rapide, dite de König-Huygens :

V(X) = E(X²) - [E(X)]²

« La moyenne des carrés moins le carré de la moyenne. » C'est celle qu'on utilise en pratique.

Dé équilibré :

E(X)  = 3,5
E(X²) = (1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6²)/6 = 91/6 ≈ 15,17

V(X) = 15,17 - 3,5² = 15,17 - 12,25 = 2,92

L'écart-type

La variance s'exprime dans le carré de l'unité : des euros² pour un gain, ce qui n'a aucun sens concret. On en prend donc la racine :

σ(X) = √V(X)             l'ÉCART-TYPE, dans l'unité de X

Dé : σ = √2,92 ≈ 1,71        « les résultats s'écartent en moyenne
                               d'environ 1,7 de la moyenne 3,5 »

Reprenons les deux jeux du début :

Jeu A : V = 1,     σ = 1 €
Jeu B : V = 10⁶,   σ = 1000 €        ->  mille fois plus risqué

L'écart-type chiffre exactement ce que l'intuition disait.

Les propriétés

V(aX + b) = a² · V(X)              le décalage b ne change RIEN
σ(aX + b) = |a| · σ(X)

Deux enseignements :

• ajouter une constante translate toute la distribution sans modifier son étalement — la dispersion est insensible au décalage ;
• multiplier par a multiplie la variance par a², donc l'écart-type par |a|.

             μ                        μ + 5
     ___/\___                     ___/\___
    /        \        + 5        /        \          même forme,
   /          \     ------>     /          \         même écart-type
  ------------------          ------------------

Attention en revanche : V(X + Y) = V(X) + V(Y) n'est vraie que si X et Y sont indépendantes. C'est la grande différence avec l'espérance, qui, elle, s'additionne toujours.

En résumé

• La variance V(X) = E[(X - E(X))²] mesure l'étalement autour de la moyenne.
• Formule de calcul : V(X) = E(X²) - [E(X)]².
• L'écart-type σ = √V s'exprime dans l'unité de X : c'est lui qu'on interprète.
• V(aX + b) = a²V(X) : le décalage b n'a aucun effet sur la dispersion.
• V(X + Y) = V(X) + V(Y) exige l'indépendance — contrairement à l'espérance.