Variable aléatoire et loi de probabilité

Jusqu'ici, les issues étaient des objets : une face de dé, une carte, une paire de jetons. Une variable aléatoire attache un nombre à chaque issue — un gain, une durée, un effectif — pour pouvoir le moyenner, le comparer, le mesurer.

La définition

Une variable aléatoire X est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de l'univers.

        Ω                              R
   ______________                   _________
  | (1;1) (1;2)  |      X          |  2   3  |
  | (2;1) ...    |  ----------->   |  4  ... |
  | ...   (6;6)  |   « la somme »  |     12  |
  |______________|                 |_________|

On la note par une majuscule (X, Y), et les valeurs qu'elle prend par des minuscules (x, k). L'événement « X prend la valeur k » se note (X = k).

Expérience              Une variable aléatoire possible
----------------------  ---------------------------------------
lancer deux dés         X = la somme des deux faces
jouer à un jeu d'argent X = le gain algébrique (négatif si perte)
interroger 100 personnes X = le nombre de réponses « oui »
mesurer des pièces      X = le nombre de pièces défectueuses

La loi de probabilité de X

Donner la loi de X, c'est indiquer, pour chaque valeur possible, la probabilité de l'obtenir. On la présente en tableau :

Lancer d'un dé équilibré, X = résultat

  k        1     2     3     4     5     6
  P(X=k)  1/6   1/6   1/6   1/6   1/6   1/6        somme = 1  ✔

Lancer de deux dés, X = somme

  k        2    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12
  P(X=k)  1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
                                    ^^^^
                              la valeur la plus probable

Le contrôle systématique : la somme de la ligne des probabilités doit valoir exactement 1. Si elle ne tombe pas juste, la loi est fausse, et tout ce qui suivra le sera aussi.

La représentation graphique

 P(X=k)
  6/36 |                 █
  5/36 |              █  █  █
  4/36 |           █  █  █  █  █
  3/36 |        █  █  █  █  █  █  █
  2/36 |     █  █  █  █  █  █  █  █  █
  1/36 |  █  █  █  █  █  █  █  █  █  █  █
       +--2--3--4--5--6--7--8--9-10-11-12--> k

Ce diagramme en bâtons montre d'un coup où se concentre la probabilité — ici autour de 7, avec une symétrie parfaite.

Un exemple avec gains

Un jeu coûte 2 € la partie. On lance un dé : on gagne 9 € si l'on obtient un 6, rien sinon. Soit X le gain algébrique (gain reçu moins la mise) :

résultat du dé      6            1, 2, 3, 4, 5
gain reçu           9 €               0 €
gain algébrique   9 - 2 = 7 €      0 - 2 = -2 €

  k        -2      7
  P(X=k)   5/6    1/6              somme = 1  ✔

Modéliser un gain algébrique — donc négatif en cas de perte — est ce qui permettra, dans la leçon suivante, de dire si le jeu est équitable.

En résumé

• Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue.
• Notation : majuscule pour la variable, minuscule pour ses valeurs ; (X = k) est un événement.
• Donner la loi de X, c'est donner P(X = k) pour chaque valeur.
• La somme des probabilités de la loi vaut toujours 1 — le contrôle à ne jamais sauter.
• Le diagramme en bâtons visualise la répartition.
• Pour un jeu, on modélise le gain algébrique, mise déduite.