L'espérance : la moyenne à long terme

L'espérance est la valeur moyenne que prend une variable aléatoire lorsqu'on répète l'expérience un très grand nombre de fois. C'est le premier chiffre que l'on calcule sur une loi.

La définition

E(X) = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + ... + xn · P(X = xn)

Autrement dit : chaque valeur est pondérée par sa probabilité. C'est une moyenne, mais où les valeurs les plus probables pèsent plus lourd.

Dé équilibré :

E(X) = 1×(1/6) + 2×(1/6) + 3×(1/6) + 4×(1/6) + 5×(1/6) + 6×(1/6)

     = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6  =  21/6  =  3,5

Ce que l'espérance n'est pas

E(X) = 3,5 alors que le dé ne tombe jamais sur 3,5. L'espérance n'est pas une valeur attendue au sens courant : c'est la moyenne à long terme.

  10 lancers   ->  moyenne observée 3,9
  100 lancers  ->  3,42
  10 000       ->  3,504
  1 000 000    ->  3,4998        ->  se resserre autour de 3,5

C'est la loi des grands nombres qui garantit ce rapprochement. L'espérance est donc la prévision de ce que l'on encaisse en moyenne par partie, sur un très grand nombre de parties.

Jeu équitable, jeu perdant

E(X) = 0   ->  jeu ÉQUITABLE     (ni gain ni perte à long terme)
E(X) > 0   ->  jeu FAVORABLE au joueur
E(X) < 0   ->  jeu DÉFAVORABLE au joueur

Reprenons le jeu de la leçon précédente : mise 2 €, on gagne 9 € avec un 6.

E(X) = (-2) × 5/6  +  7 × 1/6  =  (-10 + 7)/6  =  -3/6  =  -0,50 €

Le joueur perd en moyenne 50 centimes par partie. Sur 1000 parties, cela fait environ 500 € de perte — et c'est le modèle économique de tous les jeux d'argent : une espérance légèrement négative pour le joueur, donc positive pour l'organisateur.

Pour rendre ce jeu équitable, il faudrait un gain g tel que :

(-2) × 5/6 + (g - 2) × 1/6 = 0     ->     g = 12 €

La linéarité

C'est la propriété qui évite de tout recalculer :

E(aX + b) = a · E(X) + b
E(X + Y)  = E(X) + E(Y)        (toujours vrai, même si X et Y sont liées)

Si E(X) = 3,5, alors E(10X - 4) = 10 × 3,5 - 4 = 31

La seconde formule est particulièrement puissante : l'espérance d'une somme est toujours la somme des espérances, sans aucune hypothèse d'indépendance. C'est ce qui rend le calcul de l'espérance d'une loi binomiale immédiat, comme on le verra.

En résumé

• E(X) = Σ xi · P(X = xi) : chaque valeur pondérée par sa probabilité.
• C'est une moyenne à long terme, pas une valeur que X doit atteindre.
• La loi des grands nombres justifie cette lecture.
• E(X) = 0 définit un jeu équitable ; E(X) < 0, un jeu défavorable.
• Linéarité : E(aX + b) = aE(X) + b et E(X + Y) = E(X) + E(Y), toujours.