Mesurer la dispersion

Rendement, risque et mutualisation

Espérance et écart-type ne sont pas des exercices scolaires : ce sont les deux nombres sur lesquels reposent l'assurance, la finance et le contrôle qualité.

Le couple rendement / risque

E(X)  ->  ce que l'on gagne EN MOYENNE          (le rendement)
σ(X)  ->  de combien cela VARIE d'une fois       (le risque)
          sur l'autre

Un placement financier se résume presque toujours à ce couple. Deux produits de même espérance ne se valent pas : celui de plus faible écart-type est préférable à rendement égal — c'est le principe de base de la gestion de portefeuille.

        rendement E(X)
             ^
             |        • fonds actions (E élevé, σ élevé)
             |
             |   • obligations (E moyen, σ faible)
             | • livret (E faible, σ ≈ 0)
             +---------------------------> risque σ(X)

L'assurance, expliquée par l'espérance

Une compagnie assure 100 000 conducteurs. Pour chacun, la probabilité d'un sinistre coûtant 10 000 € est de 1 %.

E(coût par assuré) = 0,01 × 10 000 = 100 €

La prime doit donc dépasser 100 € pour couvrir les sinistres, les frais et la marge. Mais pourquoi l'assurance fonctionne-t-elle, alors que l'espérance est défavorable à l'assuré ?

Parce que les deux parties ne regardent pas le même nombre :

L'ASSURÉ subit un risque énorme à son échelle : σ individuel très grand,
et un sinistre peut le ruiner. Il paie pour SUPPRIMER cette variance.

L'ASSUREUR mutualise 100 000 risques indépendants. Son coût moyen se
concentre autour de 100 € : l'écart-type relatif diminue en 1/√n.

C'est la loi des grands nombres transformée en modèle économique : le risque individuel disparaît par agrégation.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Elle donne un sens quantitatif à l'écart-type, sans rien supposer sur la loi :

                            1
P( |X - E(X)| ≥ k σ )  ≤  ----
                           k²

k = 2  ->  au plus 25 % des valeurs sont à plus de 2σ de la moyenne
k = 3  ->  au plus 11 %
k = 10 ->  au plus 1 %

Cette borne est universelle mais grossière. Pour une loi normale, la proportion réelle au-delà de 2σ est de 5 %, pas 25 %. Elle sert donc surtout à garantir un ordre de grandeur quand la loi est inconnue.

Le contrôle qualité

Une chaîne de production vise une longueur de 100 mm avec σ = 0,2 mm. On rejette les pièces hors de [μ - 3σ ; μ + 3σ], soit [99,4 ; 100,6].

      99,4        100        100,6
        |----------|----------|
             zone acceptée
   rejet <--                 --> rejet

Le fameux objectif « six sigma » consiste à rendre les tolérances si larges par rapport à σ que la proportion de défauts tombe à quelques pièces par million. Tout le travail industriel consiste alors à réduire σ, pas à déplacer la moyenne — cette dernière se règle facilement, la dispersion non.

En résumé