La methode de combinaison lineaire

Principe

La combinaison lineaire consiste a additionner ou soustraire les deux equations (eventuellement apres les avoir multipliees par des nombres bien choisis) afin de faire disparaitre une des deux inconnues.

Etapes

1. Multiplier une ou les deux equations par des coefficients pour que les termes en x (ou en y) soient opposes ou identiques.
2. Additionner ou soustraire les deux equations pour eliminer une inconnue.
3. Resoudre l'equation obtenue a une seule inconnue.
4. Reinjecter la valeur trouvee dans une des equations de depart pour obtenir la seconde inconnue.
5. Verifier le couple solution.

Exemple complet

{ 3x + 2y = 12
{ x - 2y = 4

Les coefficients de y sont deja opposes (+2 et -2), on peut donc additionner directement les deux equations :

(3x + 2y) + (x - 2y) = 12 + 4

4x = 16 -> x = 4

On reinjecte dans la seconde equation : 4 - 2y = 4 -> -2y = 0 -> y = 0

Verification : 3(4) + 2(0) = 12 (vrai) et 4 - 2(0) = 4 (vrai)

La solution est (4, 0).

Autre exemple avec multiplication

{ 2x + 3y = 7
{ x + y = 3

On multiplie la seconde equation par 2 : 2x + 2y = 6

On soustrait : (2x + 3y) - (2x + 2y) = 7 - 6 -> y = 1

Puis x = 3 - y = 2. La solution est (2, 1).

Piege classique

Quand on multiplie une equation par un nombre, il faut multiplier tous les termes, y compris celui du membre de droite (le nombre apres le signe =). Oublier ce terme est une erreur tres courante.