Sens de variation d'une suite arithmetique

Croissante, decroissante ou constante ?

Le sens de variation d'une suite arithmetique depend uniquement du signe de la raison r. On etudie la difference entre deux termes consecutifs : u(n+1) - u(n) = r

• Si r > 0, la suite est strictement croissante : chaque terme est plus grand que le precedent.
• Si r < 0, la suite est strictement decroissante.
• Si r = 0, la suite est constante : tous les termes sont egaux.

Exemple

Soit u_n = 10 - 2n (donc u_0 = 10, r = -2). u_0=10, u_1=8, u_2=6, u_3=4 : la suite decroit bien de 2 en 2, ce qui est coherent avec r=-2 < 0.

Pourquoi cette regle fonctionne toujours

Contrairement a d'autres suites, la variation d'une suite arithmetique ne depend jamais de n : elle est la meme partout, du premier au dernier terme. C'est une consequence directe de la definition u(n+1) = u(n) + r : on ajoute toujours la meme quantite.

Signe de r	Comportement
r > 0	croissante
r = 0	constante
r < 0	decroissante

Pieges a eviter

• Ne pas se contenter de regarder les deux premiers termes : ici, la regle marche precisement parce que r est constant pour tout n, il faut le justifier.
• r=0 est un cas particulier valide : une suite constante reste une suite arithmetique, elle n'est ni croissante ni decroissante, mais rien n'empeche cela.
• Bien calculer u(n+1) - u(n) et non u(n) - u(n+1), qui donnerait le signe oppose et une conclusion inversee.